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数学（三）

2006 年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题答案与解析

一、 填空题 ( 本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上 )

(1) 极限 lim n →∞ n+1 n(-1)n=.

【思路点拨】本题的考点是数列的极限 . 数列 {xn} 的极限 limn →∞ xn=a 的充要条件是 limx →∞ x2n=a 且 limn →∞ x2n-1=a.

【解题分析】令 un=n+1 n(-1)n,n=1,2,3, … .

当 n=2k(k ∈ N) 时，

un=2k+1 2k1=1+1 2k=1+1 n;

当 n=2k-1(k ∈ N) 时 ,

un=2k 2k-1-1=2k-1 2k=1-1 2k=1-1 n+1.

所以 limn →∞ n+1 n(-1)n=limn →∞ un=1.

(2) 设函数 f(x) 在 x=2 的某邻域内可导，且 f ′ (x)=ef(x),f(2)=1, 则 f (2)=.

【思路点拨】本题的考点是一元复合函数的求导法则 . 一元复合函数求导遵循链式法则：先对外层函数求导，然后对内层函数求导 . 求高阶导数只需先求一阶导数，然后逐次求高阶导数 .

【解题分析】已知 f(x) 在 x=2 的某邻域内可导，且 f ′ (x)=ef(x), 所以 f ′ (x) 在 x=2 的同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x) 二阶可导，且

f ″ (x)= ［ ef(x) ］′ =f ′ (x)ef(x)=e2f(x).

于是 f ″ (x) 也在 x=2 的同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x) 三阶可导，且

f (x)= ［ e2f(x) ］′ =2f ′ (x)e2f(x)=2e3f(x).

将 f(2)=1 代入可得 f (2)=2e3.

(3) 设函数 f(u) 可微，且 f ′ (0)=1 2 ，则 z=f(4×2-y2) 在点 (1 ， 2) 处的全微分 dz|(1,2)=.

【思路点拨】本题的考点是多元函数全微分 . 利用一阶全微分形式的不变性，对等式两端求微分直接计算即可 .

【解题分析】利用一阶全微分形式不变性直接计算得

dz=f ′ (u)du=f ′ (4×2-y2)d(4×2-y2)

=f ′ (4×2-y2)(8xdx-2ydy)

=2f ′ (4×2-y2)(4xdx-ydy),

所以

dz(1,2)=2f ′ (0)(4dx-2dy)=4dx-2dy.

(4) 设矩阵 A=2 1

-1 2 ， E 为二阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E ，则 |B|=.

【思路点拨】本题的考点是行列式与矩阵的计算 . 应用矩阵运算性质，可以求出矩阵 B 的最简表达式，再应用逆矩阵的行列式计算 B 的行列式；也可以两边直接取行列式，计算｜ B ｜ .

【解题分析】解法一：因为 BA=B+2E B （ A-E ） =2E B=2 （ A-E ） -1

而｜ A-E|=1 1

-1 1=2 ，｜（ A-E ） -1 ｜ = ｜ A-E ｜ -1=1 2

所以｜ B ｜ =22 ｜（ A-E ） -1 ｜ =22 ｜ A-E ｜ -1=2

解法二：由已知 BA=B+2E 有 B(A-E)=2E. 两边取行列式，有

|B|·|A-E|=4.

又因为 |A-E|=1 1

-1 1=2, 所以 |B|=2.

(5) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间［ 0,3 ］上的均匀分布，则 P ｛ max ｛ X ， Y ｝≤ 1 ｝ =.

【思路点拨】本题的考点是二维随机变量函数的概率分布 . 运用最大值函数的定义和随机变量 X 与 Y 的独立性求解 .

【解题分析】由题设有

P ｛ max(X,Y) ≤ 1 ｝ =P ｛ X ≤ 1 ， Y ≤ 1 ｝ =P ｛ X ≤ 1 ｝ P ｛ Y ≤ 1 ｝ =1 3 · 1 3=1 9.

(6) 设总体 X 的概率密度为 f(x)=1 2e-|x|(- ∞＜ x ＜ + ∞ ),X1,X2, …， Xn 为总体 X 的简单随机样本，其样本方差为 S2 ，则 E(S2)=.

【思路点拨】本题的考点是简单随机样本，无偏估计 . 由样本方差是总体方差的无偏估计，将求 E （ S2 ）转化为求总体的方差 . 方差按计算公式 D （ X ） =E （ X2 ） – ［ E （ X ）］ 2 ，注意到：奇函数在关于原点对称的区间上积分值为 0 ；偶函数在关于原点对称的区间上的积分等于在原点右侧的区间上积分值的 2 倍；Γ函数的定义及性质 .

【解题分析】依题意，可得 E(X)= ∫ + ∞ – ∞ xf(x)dx= ∫ + ∞ – ∞ x 2e-|x|dx=0,

D(X)= E(X2)- ［ E(X) ］ 2= ∫ + ∞ – ∞ x2f(x)dx= ∫ + ∞ – ∞ x2 2e-|x|dx

= ∫ + ∞ 0x2e-xdx= Γ (3)=2.

因为样本方差 S2 是总体方差的无偏估计，所以

E(S2)=D(X)=2.

二、 选择题 ( 本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 )(7) 设函数 y=f(x) 具有二阶导数，且 f ′ (x) ＞ 0 ， f ″ (x) ＞ 0, Δ x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，Δ y 与 dy 分别为 f(x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若Δ x ＞ 0 ，则 ().

(A) 0 ＜ dy ＜Δ y(B) 0 ＜Δ y ＜ dy

(C) Δ y ＜ dy ＜ 0(D) dy ＜Δ y ＜ 0

【思路点拨】本题的考点是微分的概念及有限增量定理 . 可以应用凹函数的性质结合导数与微分的定义求得结果，也可以先应用微分中值定理求增量Δ y 的表达式，再应用函数 f ′ (x) 的单调性比较增量Δ y 与微分 dy 的大小 .

【解题分析】解法一：应用微分中值定理，在区间（ x0,x0+ Δ x ）内存在ξ，使得

Δ y=f(x0+ Δ x)-f(x0)=f ′ ( ξ ) Δ x

由于 f ″ (x)>0, 所以 f ′ (x) 严格增，因而 f ′ (x0)0, 于是

0<dy=f ′ (x0)dx<f ′ ( ξ ) Δ y=y.

故选 A.

解法二：由已知条件知， y=f(x) 单调上升且是凹的 . 由凹函数的性质：

f(x0+ Δ x)>f(x0)+f ′ (x0) Δ x( Δ x ≠ 0),

即

f(x0+ Δ x)-f(x0)>f ′ (x0) Δ x>( Δ x>0).

所以

0<dy0).

故选 A.

解法三：用举特例排除法 .

设 y=f(x)=x2(x ＞ 0) ，则

f ′ (x)=2x ＞ 0,f ″ (x)=2 ＞ 0.

因为在点 x=x0(x0 ＞ 0) 处有

Δ y=(x0+Δx)2-x20=2×0Δx+Δ2x,dy=2×0Δx,

所以当Δ x ＞ 0 时不等式 0 ＜ dy ＜Δ y 成立，而 (B),(C),(D) 中的不等式均不成立 .

故选 (A).

(8) 设函数 f(x) 在 x=0 处连续，且 lim h → 0f(h2) h2=1, 则 ().

(A) f(0)=0 且 f ′ -(0) 存在 (B) f(0)=1 且 f ′ -(0) 存在

(C) f(0)=0 且 f ′ +(0) 存在 (D) f(0)=1 且 f ′ +(0) 存在

【思路点拨】本题的考点是函数的连续性与右导数的概念 . 运用函数的连续性求得 f(0)=0, 借助此结果，然后根据右导数的定义，将题目所给极限转化为 f ′ +(0).

【解题分析】令 x=h2 ，则

limh → 0f(h2) h2=limx → 0+f(x) x=1.

于是

limx → 0+f(x)=limx → 0+f(x) x · x=1 · 0=0 ，即 f(0+0)=0.

又已知函数 f(x) 在 x=0 处连续，从而

f(0)=f(0+0)=0 ，

所以

1=limx → 0+f(x) x=limx → 0+f(x)-f(0) x-0=f ′ +(0) ，

即 f(0)=0 且 f ′ +(0) 存在 .

故选 (C).

(9) 若级数∑∞ n=1an 收敛，则级数 ().

(A) ∑∞ n=1|an| 收敛 (B) ∑∞ n=1(-1)nan 收敛

(C) ∑∞ n=1anan+1 收敛 (D) ∑∞ n=1an+an+1 2 收敛

【思路点拨】本题的考点是级数的收敛性 . 应用线性情形下级数收敛的判别法则可得正确答案，其余 3 项可举出反例排除 .

【解题分析】用举特例排除法 .

设∑∞ n=1an 是条件收敛的级数∑∞ n=1(-1)n-1 n, 可得

∑∞ n=1|an|= ∑∞ n=11 n, ∑∞ n=1(-1)nan=- ∑∞ n=11 n,

∑∞ n=1anan+1= ∑∞ n=1(-1)2n-1 n(n+1)=- ∑∞ n=11 n(n+1),

它们都发散，所以排除 (A) ， (B) ， (C) ，答案为 (D). 反之，由收敛级数的线性运算性质可知∑∞ n=1an+an+1 2 收敛 .

(10) 设非齐次线性微分方程 y ′ +P(x)y=Q(x) 有两个不同的解 y1(x),y2(x),C 为任意常数，则该方程的通解是 ().

(A) C ［ y1(x)-y2(x) ］ (B) y1(x)+C ［ y1(x)-y2(x) ］

(C) C ［ y1(x)+y2(x) ］ (D) y1(x)+C ［ y1(x)+y2(x) ］