可去间断点:左极限=右极限的间断点

跳跃间断点:左极限 右极限的间断点

2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在的间断点

无穷间断点: 时,

振荡间断点: 时, 振荡

【例1】 设 和 在 上有定义， 为连续函数，且 ， 有间断点，则

(A) 必有间断点； (B) 必有间断点；

(C) 必有间断点； (D) 必有间断点.

【解法1】 直接法

直接证明选项（D）正确，用反证法：

若 无间断点，由 的连续知

= 必无间断点，这与 有间断点矛盾，故应选（D）.

【解法2】 排除法

设 ， ，显然 ， 符合题设条件，而

， ，

都处处连续，则排除（A）（B）（C），故应选（D）.

【例2】 讨论函数 的连续性并指出间断点类型.

【解析】由于 为初等函数，则除 ， 外 处处连续.

当 时，

则 为跳跃间断点.

当 时，

则 为可去间断点.

当 时

则 为无穷间断点.

【例3】 求函数 的间断点并指出其类型.

【解析】 显然 和 为 的间断点，其余点处都连续。

则 为可去间断点。

则 为跳跃间断点。

【例4】 求极限 ，记此极限为 ，求函数 的间断点并指出类型.

【解析】 由于 ，而 ，则

显然 都为 的间断点.

由于 ，则 为可去间断点；

而 都为第二类间断点.

【例5】 求函数 的间断点并指出其类型。

【解析】 ，显然 无意义.

而 则 为可去间断点.由于 ， ，

则 为跳跃间断点.而 是偶函数，故 也是跳跃间断点.